数字菲涅尔全息术中的基本成像方法

原文：

General theoretical formulation of image formation in digital Fresnel holography

Pascal Picart and Julien Leval

发表在Journal of the Optical Society of America,Vol 25,No.7, 2008年7月.

本文仅作为本人的自用翻译，对其内容的准确性并不负责。

2022年3月17日完成简介。

一.简介

数字全息(Digital holography)萌发于70年代早期，但实际上变得可行仅仅是在1994年的确认之后。在此之后有诸多客观的应用在显微术成像、相差数字全息显微术（phase-contrast digital holographic microscopy）、三位物体重建以及信息还原、偏振成像（polarization imaging），表面形状轮廓测量及材料特性研究（surface shape measurement and contouring and material property investigations），利用脉冲激光与均时进行的震动分析，多维动力研究。不仅如此，利用数字全息术对图像进行校正的可能性被证实存在。亦有利用图像在在线全息（in-line holography）特殊性质进行粒子场提取（particle field extraction）的研究。以上工作中的理论依据，包括数字全息重建算法，在线全息，离轴菲涅尔全息术，数字傅里叶全息术，以及离轴全息术的Fresnelets重建（Reconstruction with Fresnelets in off-axis holography）已经在前述工作中详述了。
（Theoretical support of all these applications have been presented in previous works, which exposed theory and reconstruction algorithms for digital holography, according to the different possible schemes for the recording, i.e., in-line holography , off-axis Fresnel holography , digital Fourier holography , and reconstruction with Fresnelets in off-axis holography.）

Yamaguchi 等，曾提出对移相数字全息术（phase-shifting digital holography）成像过程的分析。基于傅里叶光学的模型展示，扩大的图像可以被发散的参考光（divergent reference beam）或是在数值重建中添加二次相位函数进行重建。除此以外，也一并研究了CCD相机有限分辨率在计算机模拟重建图像中的影响。（Furthermore, the effect of finite resolution of a CCD camera on the quality of the reconstructed image by using computer simulations was investigated.）在此论文中，Wagner等，使用了一种基于傅里叶光学的数学模型用于描述离散化影响(discretization effects)并确定横向分辨率。利用数字信号处理，使用Comb函数与原始函数相乘的方式将样本建模。在这项研究中发现，对于傅里叶全息图，像素的空间拓展与sinc函数的相乘，会影响被重建图像的亮度(intensity)。而得出的结论是：若一个填充因子(fill factor)被100%的使用，则被重建图像边缘的亮度将降低到原有的41%。最近，几位作者专注于研究全记录/全重建（full recording/reconstruction）过程中的一些影响，例如散斑效应(speckle effects)或量化效应(quantization effects)。Baumbach等，提出通过横向位移全息图以及逐像素平均达成的数字重建（digital reconstructions from laterally shifted holograms and pixelwise averaging）以减少散斑效应。该技术基于平均化多相位（averaging several phase）或同物体的不同散斑图样强度图(intensity images with different speckle patterns of the same object)。此类不同散斑图样是由CCD摄像机记录全息图时，在侧向的不同位置，以实验性方法生成的。此方法被解释为由单一CCD产生的多个小孔径组成的大孔径图像生成生成图。值得注意的是，此方法与合成孔径数字全息术所提出的非常相似。最后，Mill等，理论与实验性地讨论了位深(bit-depth)限制在量化效应中的影响。他们发现，至少使用4比特（bit）便可充分得对重建图像的进行视觉识别。Xu等，同样讨论了考虑设置中空间带宽乘积（space–bandwidth product of the setup）的数字全息图像分析。此分析得到的结论与以上研究类似。

作为共识，对记录的详尽数学建模与基于傅里叶光学的重建让理解每个被引起的物理效应造成的不同影响变为可能。此类物理效应与记录的技术，并且尤其与它们活跃的表面（active surface）有关，同样的，也与衍射波（diffracted wave）与参考波（reference wave）相关联的干涉过程有关。其中，参考波作为参考样本。数字全息图的记录引援了香农定理。然而，数字菲涅耳全息术没有明确的公式，因为没有简单的关系能判断被考虑物体的“优良距离”或“优良尺寸”。除此以外，重建过程意味着其影响是直觉化但难以解释的。（although intuitive, is not explicit.）读者可以相当简单的理解这些成果的作用：它们都会影响成像过程的分辨率。因而，为了得到一个可以解释的数字全息术分析公式，本文重点研究了在菲涅尔近似背景下,全息术全记录-重建过程中的物相关系。

本文包括以下几个章节：在第二章与第三章，引导一般性建模的重建原理的深入描述将陈述固有分辨率这一概念。重点将放在图像平面（image plane）中分辨率函数的数学发展上。第四章处理了活跃表面对像素的影响。第五章与第六章分别讨论了焦点以及参考波的异常状态所带来的影响。第七章介绍了一数字菲涅尔全息术在香农定理中的简单公式。在第三章与第七章中介绍了一些经由实验结果证明的理论分析。第八章介绍了本研究的结论。

二.物-相关系的一般建模

一般来说，涉及数字全息术过程的现象是一线性过程。因而，这似乎是与寻找一种包括卷积与乘积的一般物-相关系有关。必须考虑的主要过程如下：衍射、干涉、空间整合（spatial integration）和像素采样，以及数字重建。物体与其数字全息图像的关系可以被分解为几步，如下图所总结的。

fig1

图1.数字全息术中成像的示意图

real object and the impulse response of the full digital holographic process according to

真实物体以及全数字全息过程的冲量响应依从于：

$\label {1} A_{R} (x,y) = \kappa A (x,y) \ast R_{xy} (x,y)$

其中 $\ast$ 表示卷积， $A (x,y)$ 是真实对象， $A_{R} (x,y)$ 是重构场，函数 $R_{xy} (x,y)$ 与图像质量在空间分辨率方面有关， $\kappa$ 为一常数。本文重点介绍该过程的每一步骤。

A.基础知识

考虑一组关联到OOI(Object Of Interest)表面的参考坐标 $x,y$ ;Z轴垂直于物体表面,被认为是衍射光束的传播方向。

被相干波长光束照射的物体表面产生一个物体波前，记为

$A (x,y) = A_{0} (x,y) exp [ \mathnormal{j} \psi_{0} (x,y)]$

由于物体表面的粗糙度，因而相位 $\psi_{0}$ 被认为是随机均匀分布在 $[ - \pi , \pi]$ 上的。物体可能不会完美的在参考坐标系的中央，而是在坐标 $[x_{0}, y_{0} ,z]$ 处轻微侧向位移。在下面的内容中，我们认为物质波(object wave)的是通过一定的距离 $d_{0}$ 传播，在此距离，它将与平面以及光滑的参考面产生干涉，产生的空间频率记为 $\{ {u_{R},v_{R}} \}$ 。在 $d_{0}$ 处，选参考坐标为 $[x', y' ,z]$ ,在 $(x,y) \not= (0,0)$ 的情况下,目标产生的衍射场可被菲涅尔近似(Fresnel approximations)给出。

[eq.3]

与参考波的一般关系为

[eq.4]

添加到参考相位的项 $\Delta \Psi_{a,b} (x',y')$ 对应参考波前的畸变。如何选择平面参考波被一些因素所影响：若参考波是球形波，其曲率便可以插入到衍射场的计算，但若该曲率为虚假曲率，此结果将导致聚焦误差，此部分将在本文中进一步讨论。此外，在离轴菲涅尔全息术中，主要参数为参考波的空间频率，即使该空间是球形或平面。需要留意在傅里叶全息图的情况下，聚焦也是在设定好的几何形状下自然完成的，先验的聚焦错误不会发生。现在，在干涉平面，全息图 $\mathnomal{H}$ 被写作

请记住，在 $(x_{0},y_{0}) \not= (0,0)$ 的情况下，+1迭代的全息图可以改写为

[eq.5]

物体横向移动带来的影响在eq.5中显而易见。事实上这里出现了一个无关项 $\mathrm{exp} [ \mathnormal{j} \pi (x_{0}^{2}+y_{0}^{2}) / \lambada \mathnormal{d}_{0}]$ ,对于参考波空间频率的修正量，分别为 $u_{R} - x_{0} / d_{0}$ ， $v_{R} - y_{0} / d_{0}$ ，物体场的菲涅尔变换则在 $(x'+x_{0},y'+y_{0})$ ，而不是如传统情况下，在 $(x',y')$ 得到评估。参考波的空间频率将因而依据 $( x_{0} / \lambda d_{0} ,y_{0} / \lambda d_{0})$ 增减。对在坐标 $(x'+x_{0},y'+y_{0})$ 而不是 $(x',y')$ 菲涅尔变换进行评估的影响可以以简单的方式理解。根据[Eq.1],菲涅尔变换与傅里叶变换成比例。当使用另一个菲涅尔变化来计算+1级相的重建场时，计算转移菲涅尔变换的坐标系将导致其乘以一偏置相位。因此，偏置相位的数学表达式为 $exp[+2 \mathnormal{j} \pi (Xx_{0}+Yy_{o})]$ ，其中 $(X,Y,z)$ 是连接到重建平面的一组坐标。所以物体的横向移动主要影响对参考波有效空间频率的贡献。这一点将在本文中进一步讨论。在数字菲涅尔全息术中，干涉图是用像素矩阵记录的。图2说明了记录的一般几何形状。由于拓展的表面，每个像素都对全息图进行取样同时进行空间整合。一般来说，检测器包括 $\mathit{M}\times \mathit{N}$ 个像素，其间距为 $p_{x}$ 和 $p_{y}$ ，每个像素的尺寸为 $\Delta_{x} \times \Delta_{y}$ 。在以前的论文中，在 $(\mathscr{k}p_{x},\mathscr{i}p_{y})$ 点的全息图被表示为[Eq.6]

偶数像素的函数为[Eq.7]

根据衍射理论，在离记录平面任意距离dR处的+1阶的衍射场，注意是AR+1，可以通过评估以下公式计算（K,L）>=（N,M）数据点。[Eq.8]

请注意，利用傅里叶变换的特性，共轭阶数（-1阶）可以简单地通过以下方式得到[Eq.10]

因此，-1阶的衍射场的结构可以很容易地从+1阶的衍射场中推导出来。因而，本文将只关注+1阶的问题。图像形成过程的一般模型可以通过同时考虑对整个数字全息过程有贡献的所有参数来全面建立；不过，也可以通过在每次评估时只考虑一个参数来评估衍射场。这最后一种方法更容易得到进展并将在本文中加以应用。

B.图像形成过程的贡献

作为第一步，考虑(x0,y0)=(0,0)；参考波是完全平面的，即， \dealta ab(x’ ,y’)=0；图像在+1阶中是聚焦的，即，dR=-d0；并且像素有一个扩展表面，它被证明在+1阶中的衍射场由[Eq.11]给出。

其中Wnm(X,Y,-d0)是二维离散傅里叶变换的滤波函数，由以下公式给出[Eq.12]。

公式（11）中的第一个基本关系需要一些评论。它表明，重建的物体与真实的物体的联系建立在于一个具有不同贡献的卷积关系上。第一是像素函数，第二是基于记录的有限尺寸，最后是重建场中的定位函数。公式（12）的sinc型函数卷积与Kreis[46,47]提出的、Guo[59]讨论的结果相当一致。//

正如在参考文献[27,30,58]中所讨论的，最后的卷积函数表明+1阶（衍射峰）的位置在坐标[待补]。当参考波前没有畸变时，这些坐标构成了重建物体的旁轴位置。物体的坐标取决于参考波的空间频率、重建距离和照明光束的波长。在[待补]的情况下，+1阶（衍射峰）在[待补]处。因此，物体的侧移有助于重建图像的旁轴定位。

请注意，在公式(11)中，由于重建建模通过考虑法入射的平面波进行，因此重建场被乘以了参考波的复数共轭；而在球面参考波的情况下，复数项，包括其曲率，可以插入到公式（8）的双重求和中。公式（11）指出，重建象是由像素函数卷积计算的实数。这个结果考虑到以前发表的论文[48,56]时让人吃惊，但此结果与光学成像特性并不冲突。事实上，在经典成像中，物体通过光学镜头投射到传感器上，镜头的点扩散函数卷积的真实像，而后与像素函数卷积产生图像。在经典成像中，真实物体的滤波是由于镜头和像素表面造成的。数字全息术是一种对物体成像的干涉测量方法。在这样的成像中，滤波不通过镜头完成，因为设备中没有镜头。它是由双重自由空间传播来完成的，首先是从物体到传感器的物理衍射，而后是从传感器平面到重建平面的数字衍射。

因此，[Eq.11]表明，物体是由滤波的点扩散函数（在[Eq.12]中给出）和像素函数卷积而成。请注意，公式（12）是一个数值矩形孔径的衍射图案。在经典成像中，其中一个卷积项是镜头的瞳衍射图案。最后，[Eq.11]中给出的基本结果遵循常识，可以被直观地理解。由此可见，像素函数的影响是一个卷积参数，而不是一个乘法sinc函数，如在[48,56]中提出的那样。

作为第二步，考虑x0,y0=0,0；参照物不是完全的平面，即abx,y0；焦点无误，即dR=d0；像素无拓展，即x,yx,y=x,y。现在，+1阶的衍射场可写成[Eq.13]与[Eq.14]。
其中[待补]和FT表示傅里叶变换。援引与[58]中相同的属性，我们得到[Eq.15]
可以预见，滤波函数和定位函数都包含在公式（15）中。同时出现的还有一个
新的卷积函数[待补]，它是由于参考波前的畸变造成的。它的分析公式与傅里叶变换有关。

[Eq.16]
作为最后一步，考虑x0,y0=0,0；参考波是完全平面的，即[待补]；像素没有扩展，即[待补]；重建不是在+1阶中的焦点，即dR-d0。
在+1阶的衍射场由[Eq.17]给出.

我们有[Eq.18]。
其中FT-1表示反傅里叶变换。对于参考波，我们有[Eq..19]。
如果[待补]，参考波的空间频率波的空间频率分别为uR-x0/d0,vR-y0/d0,包括由于[待补]而产生的无关相位项，即 [待补]和[待补]，由此得到
[Eq.20］
由于聚焦误差引起的函数出现在公式（20）中，它由[待补]指出，这个函数也与傅里叶变换有关。
[Eq.21] 。
注意，在公式（20）中把dR=-d0，并与[待补]一起，导致理想情况，我们得到衍射场

[Eq.22] 。
其中包括滤波函数和定位函数。

注：本节有大量的公式，用latex排版将会花费大量时间，等我回来继续补齐公式。

C.一般线性关系

作为第2.A和2.B小节的结论，数字菲涅尔全息术中图像形成的一般理论表述为

[Eq.23]

其中 $\kappa$ 包括不相关的常数和公式（20）的相位项。这一关系也可以通过引入过程的脉冲响应写成公式（1）的一般形式

[Eq.24]

在下文中，函数 $R_{xy} (x,y)$ 被称为数字菲涅尔全息术的分辨率函数。

三.固有分辨率（Intrinsic Resolution）

In the ideal case and with (x0 ,y0)=(0 , 0), Eqs. (22) and (24) indicate that the resolution function of digital Fresnel holography is

在(x0 ,y0)=(0 , 0)的理想情况下，公式(22)和(24)表明，数字菲涅尔全息术的分辨率函数为：

[Eq.25]

The localization function does not really contribute to resolution, since it includes only information on spatial localization of the paraxial image and not on image quality.
Furthermore, it vanishes in the case of in-line holography
because of the three-order overlap uR,vR=0 , 0. The
main function that imposes the spatial resolution is the
function W˜ NMx,y, –d0. Thus, this is the one that gives
the intrinsic resolution in digital Fresnel holography, i.e.,
the ultimate achievable resolution. Its interpretation is
simple: It is a digital diffraction pattern of a rectangular
digital aperture with size NpxMpy and uniform transmittance. Note that domain NpxMpy corresponds to
the size of the recording area and thus of the observation
zone. In what follows, this observation zone will be called
the “observation horizon.” The mathematical expression
of W˜ NMx,y, –d0 appears to be equivalent to that of the
classical analogical diffraction pattern of a rectangular
pupil, i.e., two-dimensional sinc function [46–48]. Both
functions have similar profiles, except for their maximum
value, since W˜ NM0 , 0 , –d0=NM. Considering the Rayleigh criterion for determining the width of the function
leads to