多少有点忙。
Pascal Picart 发表于Optica Express，2016
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2.数字菲涅尔全息之基础
数字全息图是通过矩形传感器记录被称为物波与参考波的相干干涉混合得打的。全息图可以被写成以下的形式。
注：物波强度之平方+参考波强度之平方+物波虚像·参考波+参考波虚像·物波
\[
H = \left| R \right|^2 + \left| O \right|^2 + R^* O + R O^*
\]
此式 ，物波可以一般写为$ R(x,y)=a_{R} exp [2 i \pi (u_{o}x + v_{0}y)]$ ，空间频率 $ {u0,v0} $ (离轴配置)，$ O $是从物距$ d_{0}$物体至记录平面上的衍射波。
物波$ O $可以在菲涅尔近似下用公式（2）表示[1,2,10,11]（i = √-1）：
\[
O(x, y, d_0) = -\frac{i}{\lambda d_0} \exp\left(\frac{2i\pi d_0}{\lambda}\right) \exp\left[\frac{i\pi}{\lambda d_0}\left(x^2+y^2\right)\right] \par \times \left(\int\int_A \exp\left[\frac{i\pi}{\lambda d_0}\left(X^2+Y^2\right)\right] \exp\left[-\frac{2i\pi}{\lambda d_0}(xX+yY)\right] dXdY\right)
\]
物平面上的物体波前是$ A(X,Y)=A_{0}(X,Y)exp[iψ_{0}(X,Y)] $，$ \lamba $是光的波长。距离记录平面$ -d_{0} $处的物体场的重建由离散菲涅尔变换给出[10]:
\[
{\displaystyle A_{r}\left(X,Y,-d_{0}\right)=\dfrac{i\exp\left(-2i\pi d_{0}/\lambda\right)}{\lambda d_{0}}}\\\\ \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\par\times\exp\left[-\dfrac{i\pi}{\lambda d_{0}}\left(X^{2}+Y^{2}\right)\right]\\\\ \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\par\times\sum_{k}\sum_{l}H\left(l p_{x},k p_{y},d_{0}\right)\exp\left[-\dfrac{i\pi}{\lambda d_{0}}\left(l^{2}p_{x}^{2}+k^{2}p_{y}^{2}\right)\right]\\\\ \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\par\times\exp\left[\dfrac{2i\pi}{\lambda d_{0}}\left(lX p_{x}+kY p_{y}\right)\right]. \end{array}
\]
方程（3）包括记录数字全息图的像素坐标$（lp_x,ky_y）$（l，k：整数；px，py：像素间距）。从数值计算中，可以评估出衍射场的振幅和相位。一般来说，除了数字全息显微镜，物体的波前是有斑点的。定量测量是通过物体相位和 “参考 “相位之间的减法进行的，参考是物体在所谓 “参考 “状态下的相位。得到的相位差是以2π为模数的，然后需要进行相位解包[8]。这种方法受到发生在物体两个状态之间的斑点相位去重的限制。这种去相关噪声可能有几个来源：物体表面的修改（由于机械、振动、加热、气动等负载），曝光之间的激光波长变化（例如表面形状测量），记录像素的减少（传感器的低分辨率），重建图像的失焦（重建距离 “不好”），记录全息图的饱和度，由于有用比特数低而产生的量化效应，或者如果光电子数量太低而产生的射击噪声。在斑点计量学中，由于物体表面的修饰而产生的去相关噪声是对噪声的主要贡献，它对噪声标准偏差的贡献比其他误差源大得多。斑点相位去相关噪声与在两个物体状态下给出的两个斑点场的相关特性有关。这种相关特性与相位的二阶概率密度函数有关[3]。在这里，我们注意到ε是由两个不同状态下重建的两个物体场（相位ψ1和ψ2）之间的斑点去重引起的噪声，Δφ是由于物体表面的修改引起的相位变化。然后，我们有ψ2 = ψ1 + ε + Δφ，相位变化Δφ被认为是确定性的。相位噪声的概率密度函数ε取决于两个斑点场之间的复数相干因子|μ|的模数。参数|μ|表示两个斑点场之间的关联性。如果|μ|=0，则两个场不相关，其相位差在[-π, +π]范围内均匀分布，因此噪声很高。如果|μ| = 1，场是完全相关的，相位差接近于0，因此噪声很弱。β = |μ|cos(ε)，相位噪声ε的二阶概率密度由[3,5]给出。
\[
p(\epsilon) = \frac{1 – |\mu|^2}{2\pi}\left(1 – \frac{3}{2}\beta^2\right)\left(\beta\arcsin\beta + \frac{\pi\beta}{2} + \sqrt{1 – \beta^2}\right)
\]
此概率密度居中（平均值为 0），其宽度取决于 | μ |。Eq4的曲线与 | μ |的关系在图1中给出。
图片来自于opg.optica.org
当相干因子增加时，概率密度趋于变窄，对于 | 的值 μ |>0.99，可以认为是准高斯分布。然而，对于 | μ |<0.99，概率密度不是高斯分布的，这意味着去相关相位噪声不能同化为高斯白噪声。此外，去相关噪声与物体表面变化产生的条纹密切相关。当表面变化产生越来越多的条纹时，去相关相位噪声会增加，信噪比 (SNR) 会急剧下降。由此可见，SNR 与条纹数有关。这意味着不能像参考文献 [7,9,12 ]。事实上，将高斯噪声添加到任何相位图来模拟去相关噪声，并通过调整添加的高斯噪声的标准偏差来简单地调整 SNR 水平是不现实的。为了考虑到条纹密度和 SNR 之间的这种密切联系，必须实施真实的模拟。
3. 损坏相位数据的真实模拟
3.1 原理
为了评估去噪和恢复的性能，开发了逼真的数值模拟。模拟的目标是产生具有足够概率密度函数的散斑去相关噪声破坏的相位图。在实验中，散斑相位去相关的量自然受条纹密度控制，这与表面改性有关。表面变形越大，条纹的数量越多，因此物体表面两种状态之间的相位去相关性就越高。几位作者提出了一种模拟散斑干涉条纹的方案 [ 13,14]. 在这些以前的作品中，强度分布是主要关注点。在本文中，我们旨在模拟破坏数字模 2π 条纹的相位去相关效应。图 2给出了产生散斑相位去相关的布置。与光的波长（可见范围）相比，表面应该是粗糙的，并且由均匀的平面波照射。两个透镜具有相同的焦距（f ），在第一个透镜的后焦平面（即4- f光学系统的傅里叶平面）插入一个半径为R u的圆形光阑。如果A ( x , y ) = A 0 exp(iφ 0 )δ( x − x 0 , y − y 0 ) (δ 为狄拉克函数) 为物平面单点局域于 ( x 0 , y 0 ) 的复场，则对应的复振幅图像点处的卷积方程根据A’ ( X , Y ) = A ( X , Y )* PSF ( X , Y )（* 表示卷积）给出，其中PSF是由下式给出的点扩散函数当量。(5) [ 13 ]:
\[
\begin{aligned}
PSF(X,Y) &= -\frac{i}{\lambda f}\exp\left(\frac{2i\pi f}{\lambda}\right)\exp\left(\frac{i\pi}{\lambda f}(X^2+Y^2)\right) \\
&\quad \times \int\!\!\int p(x’,y’)\exp\left(-\frac{2i\pi}{\lambda f}(x’X+y’Y)\right)\,\mathrm{d}x’\mathrm{d}y’.
\end{aligned}
\]
在Eq.5中，p ( x ‘, y ‘) 是光阑在后焦平面中提供的光瞳函数，举例而言，在x ‘ 2 + y ‘ 2 ≤ R u 2时p ( x ‘, y ‘) = 1 ， 其他地方为0。调整R u的值以控制图像平面中的散斑粒度并模拟逼真的图像。从实用的角度来看，卷积方程可以用二维快速傅立叶变换来进行。通过考虑表面轮廓h对粗糙度进行数值模拟( x , y ) 粗糙度具有高斯统计并具有狄拉克增量自相关函数。这个随机表面产生随机光学相位 ψ = 2π h / λ。表面变形是通过使用分析模型来模拟的，例如高斯分布、一阶、二阶和三阶多项式，以及Matlab函数“膜”。然后将表面变形添加到表面粗糙度。
为了得到由于表面变形引起的相位变化，包括散斑相位的去重，程序如下：首先计算与随机表面的卷积方程，在像面上产生一个随机的 “参考 “散斑场，其次计算与随机表面的卷积方程，其中加入表面变形，在像面上产生一个随机的 “变形 “散斑场，最后从这两个计算的光场计算前两个散斑相位之间的相位差。由于后焦平面的光阑所产生的空间滤波，发生了相位去重。请注意，在相位差图像中得到的信噪比与散斑噪声和变形的幅度有关。因此，散斑相位差噪声遵循公式（4）中给出的统计。
为了说明模拟过程的几个输出，图3显示了在图像尺寸为1024×1024像素，像素间距为px=5μm，λ=632.8nm，散斑颗粒为20μm时获得的数据。散斑颗粒的大小是通过计算图像平面内散斑强度的自相关来估计的。图3（a）显示了以弧度为单位的表面变形，用于卷积计算的输入。图3(b)显示了模数为2π的噪声相位差，它是通过减去两个计算出的光场的两个相位而得到的。可以看出，它包括了散斑相位的相关噪声。图3(c)显示了散斑强度的自相关，提供了散斑颗粒的大小（在这种情况下颗粒大小为20μm）。图3(d)给出了通过减去初始模拟模数2π变形与噪声模数2π相位图而计算出的去重噪声。